Смотреть больше слов в «Словаре по логике»
раздел математической логики (См. Логика), посвященный изучению логических форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ — раздел логики, в котором изучаются истинностные взаимосвязи между высказываниями.В рамках данного раздела высказывания (пропо... смотреть
раздел совр. (математической) логики, посвященный изучению логич. форм сложных высказываний, образованных из элементарных высказываний с помощью связок, аналогичных союзам "и", "или", "если..., то", "если..., и только если", отрицания ("не") и др. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, т.е. не расчленяются на части (такие, напр., как субъект и предикат). Задачей Л. в., называемой также логикой предложений или пропозициональной логикой (а иногда также исчислением высказываний, исчислением предложений, пропозициональным исчислением), является прежде всего такое уточнение понятия формы сложного высказывания, к-рое позволяет уточнить и правила логич. оперирования с высказываниями, выразимыми в этой форме; так уточнить, чтобы для последних стало возможным алгоритмическое (см. Алгоритм) решение вопросов логич. характера, для к-рых люди давно искали общие – и притом автоматические – методы решения. К числу таких вопросов относятся прежде всего вопросы, связанные с выводом логич. следствий из данных посылок (напр., теорем в данной системе аксиом) или с поиском доказательства предложений, выразимых в этой уточненной форме. Примерами вопросов этого рода являются не только вопросы, относящиеся к проверке того, следует ли данное утверждение из данных посылок, но и вопросы о том, какие вообще логич. следствия данного вида могут быть выведены из данных посылок; каковы все те различные гипотезы (определ. вида), из к-рых может быть выведено данное заключение; можно ли упростить (в том или ином смысле) форму выражения данного высказывания, и мн. др. Л. в. есть та – элементарная – часть математич. логики, для к-рой такие задачи являются разрешимыми (см. Разрешения проблемы), и поэтому именно она особенно часто находит разнообразные технич. применения в совр. автоматостроении, в т.ч. и при построении (имитирующих работу нервных сетей мозга) надежных схем из не вполне надежных элементов, к-рым занимается новая наука – б и о н и к а; именно к Л. в. обычно производится (непосредственно или опосредованно) свед?ние аналогичных вышеприведенным проблем из более сложных частей логики в тех случаях, когда они допускают алгоритмич. решение. Несмотря на ее элементарный характер, Л. в. играет поэтому важную роль в совр. логике. Задача уточнения формы сложных высказываний и правил логич. вывода (рассуждения) может решаться в Л. в. по-разному, прежде всего в зависимости от того, имеем ли мы дело с т.н. "классической" или же с конструктивной Л. в. Однако и в самих классич. и конструктивной Л. в. имеются различные решения проблемы такого уточнения, хотя часто (в том или ином смысле) равносильные между собой. Понятие формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия ф о р м у л ы Л. в., введение к-рого осуществляется посредством построения нек-рого "языка" для Л. в., состоящего из алфавита "букв" этого "языка" и правил написания "слов" (формул) в этом алфавите. Алфавит может выбираться при этом по-разному, но он обычно содержит, во-первых, "буквы", называемые "пропозициональными переменными" (число к-рых предполагается неограниченным); далее, в алфавит должны входить "буквы", являющиеся знаками для логич. связок, таких, напр., как конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание; большинство алфавитов Л. в. содержит, кроме того, вспомогат. знаки: чаще всего скобки или точки. В алфавит вводятся иногда и знаки для постоянных: "истины" и "лжи" (1,0, или 2,0, или др.). Понятие формулы Л. в. легче всего определяется для алфавитов, в состав к-рых входят и скобки. Так, если алфавит состоит из пропозициональных переменных, знаков конъюнкции (&), дизъюнкции (/), импликации (?), отрицания ( ) и скобок, то понятие формулы можно определить так: (1) Всякая пропозициональная переменная есть формула; (2) Если А и В – формулы, те. (А & В), (А / В), (A ? B) – формулы; если А есть формула, то А – тоже формула. Употребителен, однако, и бесскобочный алфавит Лукасевича или алфавиты, в к-рых роль скобок выполняют точки (и группы точек). Существенно только, чтобы понятие формулы было "разрешимым", т.е. чтобы для всякого "слова" в данном алфавите можно было эффективно ответить "да " или "нет" на вопрос о том, является ли оно формулой Л. в. или нет, и к тому же ответить так, чтобы при положит, ответе однозначно восстанавливалась вся последовательность шагов построения формулы начиная с ее элементарных составляющих. Так, "слова": (р ? (q ? r)) и ((p ? q) ? r) (где р, q, r – пропозициональные переменные), согласно приведенному выше определению формулы, являются формулами, и последовательность шагов их построения может быть изображена следующими "деревьями": "Слово" же (р ? g ? r) не есть формула: без дополнит. соглашений, позволяющих в точно определ. случаях опускать скобки, неизвестно, какие именно формулы связываются здесь знаками импликации; "дерево" поэтому нельзя построить. Выбор алфавита для "языка" Л. в. определяется тем, чт? именно на этом "языке" должно стать выразимым (и притом в достаточно точной форме), т.е. определяется семантикой этого "языка". В классич. Л. в. этой семантикой являются правила, позволяющие установить истинность (соответственно, ложность) сложного высказывания в зависимости от истинности или ложности входящих в него элементарных высказываний. В соответствии с этим связки классич. Л. в. толкуются как функции от нек-рого числа аргументов, такие, что как сама функция, так и ее аргументы могут принимать одно и только одно из двух различных значений (соответствующих "истине" и "лжи"). Чтобы сделать выразимыми на "языке" Л. в. все такие функции, оказывается достаточным выбрать в качестве исходных связок лишь нек-рое – небольшое – их число: достаточно, напр., одних только конъюнкции и отрицания (соответственно, одних только дизъюнкции и отрицания), одних только импликации и отрицания или даже одного только "штриха" Шеффера – антиконъюнкции. Наиболее употребительными являются "языки": ИО (импликации и отрицания; А. Черч), CKЕ (сложения, т.е. строгой дизъюнкции, конъюнкции, единицы, т.е. истины; И. И. Жегалкин), КДО (конъюнкции, дизъюнкции, отрицания; Д. Гильберт и В. Аккерман), КДИО (конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания – "полная" Л. в.). Общие теоремы о необходимых и достаточных условиях, для того чтобы данная совокупность связок, выбранных за исходные, обеспечивала полноту функциональную пользующегося ими "языка" Л. в., были установлены Э. Постом и (позднее, но в более общих предположениях) сов. учеными С. В. Яблонским и А. В. Кузнецовым. Семантика конструктивной Л. в., вообще говоря, является более сложной и определяется тем или иным истолкованием всей конструктивной логики вообще (как логики конструктивной математики, имеющей дело только с конструктивными объектами и отвергающей абстракцию актуальной бесконечности, по А. Маркову и Н. А. Шанину; как исчисления задач по А. Н. Колмогорову; как "оперативной логики" или же как "логики спора" по П. Лоренцену; как определения "доказуемости" по К. Геделю или по лекциям П. С. Новикова; как системы замкнутых подмножеств, любого топологич. пространства по Стону и А. Тарскому; как импликативной алгебраич. структуры по X. Керри и Г. Биркгофу; и др.). Все эти системы, за исключением первой, в которой используется еще "принцип конструктивного подбора" А. Маркова (см. Конструктивное направление), являются точными интерпретациями формальной системы А. Гейтинга для интуиционистской Л. в. Во всех них связки, соответствующие конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицанию, независимы друг от друга, т.е. ни: одна из них не может быть выражена (определена) через другие. Недавно (1963) А. В. Кузнецов построил, для конструктивной Л. в. аналоги "штриха" Шеффера. Еще более разнообразными, чем способы уточнения формы сложного высказывания, являются уточнения логич. правил вывода для Л. в. [напр., классическое и конструктивное секвенций исчисления или близкое к обычным способам рассуждения и специально ориентированное на них – классич. натуральное исчисление и его "минимальная" и "конструктивная", модификация; семантические и дедуктивные таблицы голл. математика и логика Э. Бета; семантические и синтаксические схемы вывода нем. математика К. Шютте и др. В ряде этих систем правила вывода устроены так, что они решают одновременно и проблемы поиска доказательства (соответственно, обнаружения недоказуемости) ]. Несмотря на существование различных способов уточнения правил логич. вывода, выбор последних, отнюдь не произволен (как это допускается позитивистским "принципом терпимости" Карнапа), а должен удовлетворять нек-рым требованиям. Характер этих требований определяется потребностями науки и техники, т.е. они имеют науч. смысл, когда удовлетворяют материалистич. критерию практики. Прежде всего, правила должны быть таковы, чтобы с их помощью из истинных посылок можно было вывести только истинные же заключения. Существенно, далее, чтобы заключения при этом логически следовали из посылок не только в том смысле, что могут быть выведены из последних по нек-рым правилам вывода, но – поскольку идет речь о подходящем выборе самих правил вывода – еще и в таком смысле, к-рый является независимым от этого выбора. Для целей классич. Л. в. этому требованию вполне удовлетворяет семан-тич. определение логич. следования, по к-рому заключение З логически следует (в смысле Л. в.) из посылок П1, ..., Пк, если и только если заменив в П1, ..., Пк, З элементарные высказывания пропозициональными перемен-ными, мы получим формулы Л. в. Р1,..., Рк, ? (формы посылок и заключения) такие,что всякий раз, когда функции, выражаемые формулами Р1,..., Рк, принимают значение "истина", это же значение принимает и формула Ф. Иными словами, заключение с необходимостью следует из посылок, если неосуществим такой случай, когда все формы посылок принимают значение "истина", а форма заключения – значение "ложь". Другим условием, соблюдение к-рого при выборе правил логич. вывода представляется весьма существенным, является требование п о л н о т ы выбранной системы правил, т.е. возможности вывести, пользуясь только ими, любое заключение З, логически следующее (в семантич. смысле) из к.-н. данных посылок. Все вышеупомянутые (классические) исчисления этому требованию удовлетворяют. (Само собой разумеется, что полнота исчисления не равнозначна отрицанию возможности расширять запас допускаемых им правил логич. вывода, но означает лишь, что всякое новое правило, вводимое в такое исчисление, должно быть д о п у с т и м ы м в нем в том смысле, что все, что может быть выведено с его помощью, может быть получено и без него. Допустимость всякого такого правила всегда нуждается поэтому в спец. обосновании, состоящем в указании способа, позволяющего по данному выводу, в котором используется новое правило, построить др. вывод, где это правило уже не прилуняется). Поскольку формула (Р1 ?) (Р2 ? ... ? (Рк ? Ф)...)) может быть ложной лишь тогда, когда все "посылки" (антецеденты) Р1, Р2,..., Рк истинны, а "заключение" (консеквент) ? ложно, семантич. определение логич. следования для классич. Л. в. оказывается эквивалентным условию, чтобы эта формула была тождественно-истинной, т.е. при любых значениях пропозициональных переменных принимала бы лишь значение "истина". Вопрос о том, следует ли данное заключение З (в смысле классич. Л. в.) из посылок П1, ..., ПК может быть сведен, т.о., к вопросу о том, является ли нек-рая формула Л. в. тождественно-истинной ("законом Л. в.") или нет. Для Л. в. этот вопрос решается принципиально очень просто (см. Тождественная истинность, Тавтология). Естественно, встает, однако, вопрос о том, нельзя ли множество "законов Л. в." охарактеризовать непосредственно формой выражающих их формул. Иными словами, нельзя ли дать такие правила, к-рые среди всех формул Л. в. выделили бы – только по их форме – тождественно-истинные. Оказывается, это можно сделать, причем различными способами. Прежде всего аксиоматически, т.е. в нек-ром смысле аналогично приведенному выше определению формулы Л. в. Именно, сначала задаются нек-рые формулы (или схемы формул: не формулы, а ф о р м ы формул, где роль пропозициональных переменных играют формульные переменные, но трактуемые не формально, а содержательно), к-рые наз. аксиомами (соответственно, схемами аксиом) Л. в., а затем формулируются правила вывода, позволяющие из уже имеющихся формул получать новые. Если все аксиомы при семантич. истолковывании оказываются тождественно-истинными формулами Л. в., а правила вывода, будучи примененными к тождественно-истинным формулам, дают тоже тождественно-истинные формулы, то аксиоматика выделяет нек-рое множество ? тождественно-истинных формул и при этом является непротиворечивой (как в том смысле, что в ней не может быть выведена никакая пара формул, одна из к-рых является отрицанием другой, так и в том смысле, что из нее заведомо не может быть выведена л ю б а я формула Л. в. и, в частности, к.-л. пропозициональная переменная, т.к. последняя заведомо не есть тождественно-истинная формула). Если в с я к а я тождественно-истинная формула выводима в данной аксиоматике, то последняя наз. с е м а н т и ч е с к и п о л н о й. Во всякой непротиворечивой и семантически полной аксиоматике классич. Л. в. множество ? выводимых в ней формул совпадает со всем множеством тождественно-истинных формул Л. в. Таковой является, напр., аксиоматика классич. Л. в., приведенная в ст. Вывод (в математич. логике). Эта аксиоматика является "полной" еще и в том смысле, что к ней "ничего нельзя добавить": всякое добавление к ней в качестве аксиомы к.-л. формулы, не выводимой в ней, делает-ее противоречивой. Аксиоматика конструктивной; Л. в. этим свойством "полноты" не обладает. Если исходными в аксиоматике классич. Л. в. являются" не аксиомы, а схемы аксиом (каждой из к-рых соответствует" т.о., бесконечное множество аксиом), то обычно единств, правилом вывода в ней бывает правило удаления знака импликации (модус поненс), позволяющее из двух уже имеющихся формул А и (А ? В) получить формулу В. Если же исходными являются сами аксиомы (конечное их число), то к числу правил вывода приходится присоединить и правило, подстановки. Для целей вывода логич. следствий аксиоматика ("полная") может быть использована и независимо от ее семантич. истолкования. Так, при наличии в ней правила модус поненс (а значит, и знака импликации в "языке" формул) всякий вывод логич. следствия формы ? из посылок, имеющих формы Р1, ..., Рк может быть осуществлен с помощью вывода из аксиом "закона Л. в.": (Р1 ? (Р2 ? ... ? (Рк ? Ф)...)) и применения (к раз) правила модус поненс. Ничего другого, кроме "законов Л. в." и одного лишь этого правила, для вывода логич. следствий, т.о., не требуется. Для того же, чтобы обеспечить, такую "полноту" аксиоматики Л. в., при наличии к-рой всякий вывод (по правилу модус поненс) формулы ? из форм посылок Р1,..., Рк и аксиом можно было заменить применением (к раз) правила модус поненс к формуле (Р1 ? (Р2 ... ? (Рк ? Ф )...)), выводимой только из аксиом, – т.е. чтобы была верна т.н. "теорема дедукции", – семантич. полнота аксиоматики не является необходимой. Достаточно иметь в ней следующие две схемы аксиом: (1) (А ? (В ? А)) и (2) ((А ? (В ? С)) ? ((А ? В) ? (А ? С))). [Этими схемами – при наличии правила модус поненс – обеспечивается возможность: а) добавлять к множеству посылок лишние, в частности, считать, всякую отд. посылку логич. следствием из всего их множества; б) в формуле (P1 ? (P2 ? (Pk ? Ф)...)) как угодно переставлять посылки Р1,...., Рк, т.е. считать вывод не зависящим от порядка посылок; в) в множестве посылок отбрасывать повторяющиеся; г) вывод из заключения, следующего из нек-рых посылок, считать выводом только из этих посылок. Если желательно выяснить роль каждого из этих свойств; вывода в отдельности, то естественно заменить – как это и было сделано X. Керри – схемы (1), (2) такими, к-рые непосредственно отражают все эти свойства вывода 1. В аксиоматике конструктивной Л. в. теорема дедукции также справедлива. Заметим, что при наличии одного только правила модус поненс достаточно добавить к схемам аксиом (1),. (2) т.н. "закон двойного отрицания" в виде следующей схемы: (3) (((A ? f) ? f) ? A), – где f есть вводимая в алфавит постоянная, в наиболее естественном семантич. истолковании соответствующая "лжи", – чтобы получить семантически полную аксиоматику для классич. Л. в. (см. А. Черч, Введение в математическую логику, т. 1, М., 1960, гл. I). Хотя Л. в. является более простой частью логики, чем силлогистика Аристотеля, исторически она возникла позднее – по-видимому, в школе стоиков (см. Стоицизм), к-рые уже изучали логич. связки (такие, как импликация) и делали попытки сформулировать аксиомы Л. в. (ее осн. законы). Но в дальнейшей истории логики Л. в. не выделялась в особую часть этой науки вплоть, до последней четверти 19 в. [первыми работами, посвященными специально Л. в., обычно считаются работы Хью Мак-Колла (1877) ]. Однако и в это время Л. в. трактовалась чаще всего – в восходящих еще к идеям Буля работах Пирса, Шредера, англ. логика Дж. Венна, Порецкого и др. – лишь как одна из возможных интерпретаций логики классов, к-рая рассматривалась как соответствующая силлогистике Аристотеля. Логика при этом строилась содержательно: как метод свед?ния задач логики к задачам арифметики, алгебры или геометрии, способы решения к-рых предполагались уже известными из этих наук. В частности, поскольку всякое решение уравнений (и систем уравнений) всегда есть нек-рый вывод логич. следствий (определ. вида) из посылок, записанных в виде уравнений, естественно, возникло желание свести любые задачи, относящиеся к логич. выводу следствий, к решению уравнений и систем уравнений. Для Л. в. это оказалось особенно легко осуществимым, т.к. связки Л. в. можно было толковать как арифметич. функции, рассматриваемые лишь при двух различных значениях входящих в них переменных. Так, если "истину" обозначить чере 0, а "ложь" черев 1, то табличное определение импликации (х?у), где х, у – пропозициональные переменные, выразится функцией (1–х) y. Высказыванию же (X?У), где ?, ? – элементарные высказывания, будет соответствовать утверждение, что (1–?)·?=0. Посылки (P?Q) и (Q?R), т.о., выразятся уравнениями (1–P) Q = 0 и (1–Q) R = 0; откуда PQ=Q и QR=R. Поэтому, далее PR = P(QR) = (PQ)R = QR=R, т.е. PR=R, или (1–Р)R=0, т.е. (P ? R). Итак, оперируя с уравнениями, соответствующими посылкам (P ? Q) И (Q?R), по обычным правилам арифметич. алгебры, мы приходим к заключению (Р?R), к-рое является,т.о., логич. следствием из этих посылок. Алгоритм вывода логич. следствий и др. алгоритмич. проблемы Л. в. особенно легко сводятся к алгоритмам решения линейных уравнений при построении Д.в. как арифметики вычетов по модулю 2 (по И. И. Жегалкину, см. его соч. "Арифметизация символической логики", в Матем. сб., т. 35, вып. 3–4, 1928, т. 36, вып. 3–4, 1929). Геометрич. методы решения задач логики, начало к-рым было положено еще Л. Эйлером, в применении к Л. в. в наст. время используются чаще всего в виде диаграмм Венна, достоинством к-рых является (когда приходится иметь дело с формулами с небольшим числом пропозициональных переменных) их геометрич. наглядность, побуждающая считать их особенно пригодными, напр., при построении схем, отражающих работу нейронов (работы амер. ученого Мак-Каллока и его учеников). Алгебраич. методы решения задач Л. в. в наст. время связываются прежде всего с истолкованием как классич., так и конструктивной Л. в. в виде нек-рых структур (в смысле алгебраич. "теории структур"): дистрибутивной структуры с дополнениями (или алгебры Буля) – в случае классич. Л. в., и импликативной структуры (в к-рой импликация является нек-рым аналогом деления, если конъюнкция трактуется как умножение) – в случае конструктивной Л. в. Содержательным ("семантическим") построением классич. Л. в. как математич. теории функций (определяемых таблично и соответствующих логич. связкам, употребляемым при построении сложных высказываний) и до сих пор иногда еще исчерпывается (особенно в популярных руководствах) изложение Л. в. Основанному на более строгом анализе логич. средств (в том числе и допускаемых в самом построении Л. в. как науч. теории) уточнению правил логич. вывода ("синтаксису") Л. в. при этом не уделяется достаточного внимания. Однако для многих приложений Л. в., особенно технических, такого ее "табличного" построения оказывается достаточно. Существенную роль при этом играет возможность приводить (заменяя их эквивалентными, т.е. выражающими ту же функцию) формулы Л. в. к т.н. нормальным формам (см. также Алгебра логики). Особенно большую роль, напр., при решении задач минимизации числа контактов в электрич. релейных схемах, играет т.н. "сокращенная нормальная форма", к-рая была предметом исследования в ряде работ сов. (С. В. Яблонский и его ученики, Е. К. Войшвилло и др.) и зарубежных (У. Куайн, Д. Нельсон и др.) авторов. Двойственный (см. Двойственность) к дизъюнктивной "сокращенной нормальной форме" конъюнктивный "силлогистич. многочлен" (термин принадлежит амер. логику А. Блэку, продолжившему работу П. С. Порецкого) имеет полезные применения к выводу логических следствий. Его членами являются все те и только те формулы, к-рые наз. "простыми следствиями" из конъюнкции посылок, приводящейся к данному силлогистич. многочлену, а понятие "простого следствия, неэквивалентного к.-л. из посылок", можно считать нек-рым уточнением понятия "нетривиального следствия". Естественным обобщением для таблиц (матриц), определяющих связки Л. в. как истинностные функции (функции, принимающие значения: "истина", "ложь" в зависимости от того, какие из этих значений принимают их аргументы), являются матрицы с б?льшим, чем 2, числом истинностных значений, соответствую-щие многозначным Л. в. (см. Многозначная логика). Первая трехзначная Л. в. была построена Лукасевичем в 1920. Филос. вопросам, связанным с многозначными системами Л. в., была посвящена статья Лукасевича (1930). Трехзначная Л. в. с истинностными значениями: "истина", "ложь", "бессмыслица", была предложена как один из методов решения трудностей, связанных с парадоксами (антиномиями) теории множеств, сов. логиком Д. А. Бочваром в 1938. Вопросам об аксиоматизируемости многозначных Л. в. (т.е. замене табличного их построения аксиоматическим) был посвящен ряд работ польских логиков: М. Вайсберга, Е. Слупецкого, Б. Собочиньского, Тарского и др., а также работы амер. ученых Б. Poccера и А. Тюркетта. Таблично строящиеся многозначные Л. в. играют существ, роль при доказательствах независимости аксиом в аксиоматич. построении Л. в.: если при истолковании связок как функций, определяемых к.-л. многозначной таблицей, все аксиомы из рассматриваемой их системы, за исключением той, независимость к-рой подлежит доказательству, равно как и формулы, выводимые из них по правилам вывода данной аксиоматически построенной Л. в., не принимают никогда к.-л. значения ?, к-рое данная аксиома может принимать, то ясно, что последняя не выводима из остальных, т.е. является независимой от них. Поскольку вопрос о тождественной истинноcти (о том, что формула принимает лишь нек-рые "выделенные" значения) особенно легко решается (принципиально) при табличном построении Л. в., большое значение имеет вообще задача отыскания для аксиоматически построенной Л. в. (системы ?) такой ее табличной интерпретации ("характеристической матрицы"), в к-рой не только все формулы, выводимые в системе ?, оказываются тождественно-истинными, но и, наоборот, все тождественно-истинные в этой матрице формулы оказываются выводимыми в ?. Для полных систем аксиом классич. Л. в. такие матрицы состоят из обычных определений связок Л. в. с помощью истинностных таблиц. Для конструктивной Л. в., как это было показано Геделем, конечной характеристич. матрицы не существует (т.е. конструктивная Л. в. не является к.-л. k-значной Л. в.). Но польским логиком С. Яськовским в 1935 была построена (бесконечная) последовательность матриц такая, что всякая формула, выводимая в конструктивной Л. в., должна быть "тождественно-истинной" во всех матрицах этой последовательности и, наоборот, всякая формула, "тождественно-истинная" во всех матрицах этой последовательности, является выводимой в конструктивной Л. в. Отправляясь от матриц Яськовского, нетрудно построить (что и было сделано сов. логиком Б. Ю. Пильчак и несколько по-иному Д. Скоттом, предложившим систему "аксиом" и правил "вывода" для получения всех недоказуемых формул интуиционистской Л. в.) разрешающую процедуру для конструктивной Л. в., позволяющую для всякой формулы Л. в. установить, является ли она выводимой в конструктивной Л. в. или нет. Другие разрешающие процедуры для конструктивной Л. в. были предложены Г. Генценом (исчисление секвенций), сов. математиком H. H. Воробьевым, Э. Бетом (дедуктивные таблицы) и др. (Для всякой семантически полной аксиоматики классич. Л. в. такой разрешающей процедурой может быть, напр., табличное установление того, является ли данная формула тождественно-истинной или нет. В то же время, – как показал А. В. Кузнецов и для некоторых задач ранее Э. Пост, – многие более общие алгоритмические проблемы, связанные со в с е м классом т.н. "обыкновенных исчислений высказываний", являются неразрешимыми. Таковы, напр., задачи: построить алгоритм, который по списку I аксиом такого исчисления и формуле ? распознавал, выводима ли ? в I или нет; построить алгоритм, который бы по двум спискам аксиом I1 и I2 распознавал бы, эквивалентны ли соответствующие исчисления высказываний, и др.). Интересные результаты, относящиеся к проблеме машинного поиска логич. вывода, – прежде всего средствами классич. Л. в., – были доложены на Первом всесоюзном симпозиуме на эту тему, состоявшемся в г. Тракай 1–7 июля 1964, Н. А. Шаниным и его учениками. Системой Л. в. особого рода, в которой операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания определяются таблично (обычным образом), формализация же логич. следования осуществляется с помощью знака "строгой импликации", вводимого только системой аксиом и правил, является логика "строгой импликации" (см. Импликация). Лит.: Жегалкин И. И., О технике вычислений предложений в символич. логике, Матем. сб., т. 34, 1927, вып. 1; Гильберт Д. и Аккерман Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; ?арский ?., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М., 1948; Пильчак Б. Ю., Об исчислении задач, "Укр. матем. ж.", 1952, т. 4, No 2; IIIанин ?. ?., О некоторых логич. проблемах арифметики, в сб.: Тр. Матем. ин-та им. B. А. Стеклова, т. 43, М., 1955; [см. ст.: ] Яблонский C. В., Кузнецов А. В., там же,т. 51, М., 1958; Воробьев Н. Н., Новый алгорифм выводимости в конструктивном исчислении высказываний, там же, т. 52, М.–Л., 1958; ?овиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Беркли Э., Символическая логика и разумные машины, М., 1961 (имеется библиография); Кобринский Н. Е. и Трахтенброт Б. ?., Введение в теорию конечных автоматов, М., 1962; Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962; Колдуэлл С., Логич. синтез релейных устройств, пер. с англ., М., 1962; Ван Xао, На пути к механич. математике, в кн.: Кибернетический сборник, [т. ] 5, М., 1962; Донченко В. В., Некоторые вопросы, связанные о проблемой разрешения для исчисления строгой импликации Аккермана, в сб.: Проблемы логики, М., 1963; Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную математику, пер. с англ., М., 1963; Hilbеrt D., Веrnауs P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1, В., 1934; Gentzen G., Untersuchungen ?ber das logische Schliessen I–II, "Math. Z.", 1934, Bd 39, H. 2, 3; Сurrу Н. В., Le?ons de logique alg?brique, P., 1952; Rоsser J. В., Logic for mathematicians, N. Y., 1953; Lorenzen P., Einf?hrung in die operative Logik und Mathematik, В.–G?tt.–Hdlb., 1955; Quins W. v. О., Mathematical logic, Camb., 1955; ?ukasiewicz J. and Tarski ?., Investigations into the sentential calculus, в кн.: Tarski ?., Logic, semantics, metamathematics, Oxf., 1956, p. 38–59; Curry H. B., A theory of formal diducibility, Notre Dame (Ind.), 1957; Lorenzen P., Formale Logik, В., 1958; Asser G., Einf?hrung in die mathematische Logik, Tl 1, Lpz., 1959; Hilbert D., Ackermann W., Grundz?ge der theoretischen Logik, 4 Aufl., В.–G?tt.–Hdlb. 1959; Sсh?tte К., Beweistheorie, В., 1960; Scott D., Completness proufs for the intuitionistic sentential calculus, в кн.: Summaries of talks pres, at the Summer Inst. f. Symb. Logic, 2 ed., 1960, p. 231–41; Beth E. W., Formal methods, Dordrecht, [1962 ]. Библ. см. вкн.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Черч ?., Введение в метаматематич. логику, [т. ] 1, пер. с англ., [М. ], 1960. С. Яновская. Москва. ... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, пропозициональная логика — раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и ... смотреть
(Пропозициональная логика)- раздел логики, формализующий употребление логических связок "и", "или", "не", "если, то" и т. п., служащих для образования ... смотреть
логика суждений, пропозициональная логика, раздел совр. логики, лежащий в основе большинства её разделов в традиц. их изложении. Осн. объект Л. в. высказывание, являющееся абстракцией от понятия предложения естеств. языка, в связи с чем Л. в. наз. иногда логикой предложений. Высказывание это предложение, рассматриваемое в отвлечении от его внутр. (субъектно-предикатной) структуры исключительно с т. зр. его возможных истинностных значений: обычно истины (обозначаемой через «и») или лжи («л»). Т. о., высказывание это предложение, о к-ром имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Из элементарных высказывании, относительно к-рых вопрос о присвоении им одного из значений «и» или «л» считается заранее решённым, с помощью логических операций (играющих роль союзов и аналогичных им конструкций естеств. языка) строятся сложные высказывания (аналоги сложносочинённых и сложноподчинённых предложений), значения истинности к-рых однозначно определяются истинностными значениями исходных высказываний и определением данной логич. операции. В соответствии с «естественной» интерпретацией высказываний и свойствами логич. операций, посредством к-рых они построены, нек-рые из полученных т. о. формул Л. в. оказываются тождественноистинными (т. е. истинными при всех распределениях истинностных значений исходных элементарных формул); их наз. также тавтологиями. Такие формулы выражают логические законы; их выявление одна из осн. задач Л. в. Фиксировав нек-рые из них в качестве аксиом с помощью подходящих правил вывода, получают описание Л. в. в виде исчисления высказываний.... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.<br><br><br>... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ - раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.<br>... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ , раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.... смотреть
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции ("и"), дизъюнкции ("или"), отрицания ("не"), импликации ("если..., то...") и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.... смотреть
- раздел логики, в котором вопрос об истинности илиложности высказываний рассматривается и решается на основе изученияспособа построения высказываний из т. н. элементарных (далее неразлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операцийконъюнкции (""и""), дизъюнкции (""или""), отрицания (""не""), импликации(""если..., то..."") и др. Логику высказываний, задаваемую системойпостулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.... смотреть
раздел логики, в к-ром вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из ... смотреть
раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из, так называемых, элементарных высказываний с помощью логических операций коньюкции («и»), дизъюнкции («или»), отрицания («не»), импликации («если..., то...») и др.... смотреть
logica delle proposizioni
propositional logic
Aussagenlogik
assertion-level logic вчт.
ло́гіка висло́влень
логіка выказванняў
пікірлер логикасы
• výroková logika
раздел дедуктивной логики, в котором вопрос об истинности (или ложности) высказываний (т. е. суждений, рассматриваемых без их субъектно-предикатной структуры) в умозаключениях рассматривается на основе изучения следующего средства их выражения т. н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций. Первые исследования в этом направлении начались еще в античности, в большей степени они принадлежат школе ранних стоиков (Хрисипп, III в. до н. э.). В рамках Schullogik эта тема представлена рассмотрением выводов из т. н. сложных суждений (сложным называется суждение, в состав которого входят другие суждения). Современный вид она стала приобретать благодаря работам прежде всего Дж. Буля, а также А. Моргана, Ч. Пирса, Э. Шредера и др. Дальнейшее ее оформление связано с творчеством Г. Фреге, Б. Рассела, Д. Гильберта, Л. Витгенштейна и др. Л. в., входящая в основание других логических теорий (таких как логика *Редикатов, модальная логика) , является вводной частью, своеобразными пролегоменами всей математической логики, поэтому ее представление предваряет изложение логики предикатов (следует Учесть, что нотационные соглашения, т. е. названия и обозначения, в различных зданиях варьируются). В основе алфавита языка Л. в. лежит непустое счетное множество атомарных формул Фо. Атомарные формулы выражают элементарные высказывания. Кроме того, алфавит содержит логические связки (союзы, операторы), выражающие логические операции. В ряду основных логических связок выделяют унарную связку *отрицание* обозначается значком -? (читается *не-*) и бинарные связки: *конъюнкция* & (*и*), *дизъюнкция* ? (*или*), *импликация* -> (*если..., то...*), *эквивалентность* (*..., если и только если...*), *строгая дизъюнкция* (*либо..., либо...*). Логические операции носят соответствующие cвязкам названия. Л. в. располагает синтаксической категорией формул. Множество формул обозначается Ф, а сами формулы А, В, С... Эффективная процедура, позволяющая определить, является ли данное выражение правильно построенной формулой Л. в., характеризуется следующими пунктами: a) Фо с Ф, т. е. все атомарные формулы есть формулы; b) Если А и В формулы, то (-.А), (А & В), (? ? В), (А -> В), (А В), (А В) тоже формулы; c) Больше никаких правильно построенных формул Л. в., кроме указанных в пунктах а) и Ь), нет. Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности является основной задачей Л. в. Существует два подхода к построению данной теории: алгебра высказываний и исчисление высказываний. Алгебра высказываний, или по-другому истинно-функциональная логика, рассматривает логические формулы как алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по определенным правилам. Буквы, обозначающие формулы, здесь играют роль пропозициональных переменных (аргументов), а логические связки роль пропозициональных констант, или истинностных функторов, поскольку они определены через функции с областью значений истина, ложь (обозначаемых соответственно *и* и *л*). Значение логических связок в алгебре высказываний определяют через истинностные таблицы. Метод истинностных таблиц есть способ установления истинности высказываний, построенных в Л. в., т. к. логические функторы по заданным значениям аргументов однозначно определяют результат. Поставив в заданную формулу вместо переменных их значения и выполнив над ними указанные логические операции в порядке, зависящем от расстановки скобок в формуле, получим в результате значение *и* или *л* для всей формулы и, следовательно, установим истинность (или ложность) сложного высказывания, описанного этой формулой. Формула пропозициональной логики называется тавтологией, если она истинна при любом возможном распределении истинностных значений переменных, входящих в нее. Существует множество методов определения, является ли формула тавтологией. Наиболее распространенный метод метод истинностных таблиц. Например, легко проверить, что формулы, выражающие логические законы, являются тавтологиями. Метод истинностных таблиц может быть использован при доказательстве или опровержении корректности вывода посредством преобразования вывода в импликацию, где конъюнкция посылок составляет антецедент (левую часть импликации), а заключение совпадает с консеквентом (с правой частью импликации). Если эта импликация тавтология, то вывод, представленный в ней указанным выше способом, корректен. Например, корректность применения modus ponens подтверждается тем что формула (((А -> В) & А) -> В) тавтология. Для обоснования, вместо базового, но громоздкого метода истинностных таблиц, приведем его сокращенный (устный) вариант, называющийся методом *приведения к абсурду*. Допустим что формула (((А -> В) & А) -> В) не тавтология, значит, она может иметь значение *л* по крайней мере при одном наборе значений аргументов. Но для того, чтобы эта формула имела значение *л*, значение ее подформулы ((А -> В) & А) должно быть *и*, а значение В *л*. Но истинное значение подформулы ((А -> В) & А) может иметь место только при истинных значениях ее конъюнктов (А -* В) и А. Мы получили обязательные значения А *и* и В *л*; подставив их в подформулу (А -> В), получаем ее ложное значение. Мы получили противоречие (абсурд): с одной стороны, для того чтобы формула (((А -> В) & А) -> В) имела ложное значение, необходимо, чтобы ее подформула (А -> В) была истинной, а с другой стороны ложной Но этого не может быть, следовательно, исходная формула не имеет значения лжи ни при каком наборе значений ее аргументов, т. е. она тавтология. Исчисление высказываний имеет дело с теми же логическими формулами, но устроено как логическое исчисление (см. *Исчисление логическое*). Существуют различные варианты исчисления высказываний, каждый из которых имеет свои аксиомы и свои правила вывода Для аксиом используются тавтологии Обычно используют два правила вывода: правило подстановки и modus ponens (Правило подстановки: *Из формулы F(A), содержащей букву А, выводима любая формула F(B), получающаяся заменой всех вхождений А в формуле F на произвольную, но одинаковую для всех вхождений А, формулу В*. Оно позволяет формулировать логические законы как соотношения между простыми высказываниями, а затем распространять эти законы на любые сложные высказывания.) Оба правила широко используются во всех логических рассуждениях. Исчисление высказываний строится как дедуктивная система. Это означает, что подходящие аксиомы и правила выхода задаются т. о., что каждая тавтология может быть доказана, следовательно, исчисление является семантически полным. Оно также разрешимо и непротиворечиво: для каждой системы исчисления высказываний определено, что теоремы в ней только тавтологии, а в множестве истинных предложений, какими являются тавтологии, ни одно предложение не противоречит другому. А. Г. Кислов... смотреть