Смотреть больше слов в «Словаре по логике»
раздел логики (См. Логика), основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойс... смотреть
ЛОГИКА КЛАССОВ раздел логики, в котором рассматриваются классы (множества) предметов, задаваемые характеристическими свойствами этих предмет... смотреть
раздел математич. логики, соответствующий такому усилению логики высказываний, при к-ром элементарные высказывания уже не рассматриваются только как нерасчленяемое дальше целое, а имеют специфич. субъектно-предикатную форму, характери-зующуюся тем, что понятия, входящие в элементарные высказывания, отождествляются с их объемами, т.е. с классами (множествами) объектов. [В нек-рых совр. курсах математич. логики (см., напр., W. Quine, Mathematical logic, 1940, или Р. Л. Гудстейн, Математическая логика, пер. с англ., 1961) под Л. к. понимается вообще определ. образом формализованная множеств теория, т.е. Л. к. рассматривается как расширение не логики высказываний, а предикатов исчисления ]. Отождествление понятия с его о б ъ е м о м в Л. к. предполагает, во-первых, что содержанием понятия является не отношение, а свойство. (В логике предикатов свойства выражаются одноместными предикатами, отношения же – не менее чем двуместными). Два свойства ? и Q – такие, что всякий предмет, обладающий одним из них, обладает и другим (определяющие, иными словами, один и тот же класс предметов), предполагаются, далее, неразличимыми средствами Л. к., т.е. все, что может быть сказано на "языке" Л. к. об одном из них, может быть сказано и о другом. Таковыми будут, напр. (в арифметике натуральных чисел), свойства: "быть четным простым числом" и "быть числом, следующим за единицей" (обоим соответствует один и тот же класс натуральных чисел, состоящий из одного лишь числа 2). Чтобы сделать возможными более широкие применения Л. к. (особенно математические) и облегчить, наоборот, применение математики (в к-рой "0", обозначающий пустоту нек-рого множества объектов, трактуется как число объектов этого множества) к решению задач логики, в Л. к. пустой класс также причисляется обычно к числу классов любой предметной области (последняя, наоборот, предполагается непустой). Пустой класс считается при этом частью всякого класса: включается как часть во всякий класс (см. Пустое). В т.н. классической Л. к., помимо пустого класса, вводится еще и у н и в е р с а л ь н ы й к л а с с, состоящий из всех объектов подлежащей рассмотрению предметной области. Задачей Л. к., рассматриваемой как расширение "классической" логики высказываний (только о такой Л. к. и будет идти речь), является уточнение формы элементарного высказывания и соответствующие обобщения понятия "закона логики" (тождественно-истинной формулы) и правил логич. вывода следствий из данных посылок. Как и в логике высказываний, вопрос о том, является ли данное заключение З логич. следствием из посылок П1, П2,..., Пк, сводится к вопросу о том, является ли формула Л. к. вида (Р1 ? (P2 ? ... ? (Рk ? Ф)...)) (где P1, P2,..., Pк ? – логич. формы высказываний П1, П2,..., Пк, З) "законом Л. к." или нет. Решение же последнего вопроса удается свести к решению ряда аналогичных вопросов из логики высказываний, т.е. и в Л. к. разрешения проблема оказывается разрешимой: существует алгоритм, позволяющий по форме выражения, записанного на "языке" Л. к., ответить "да" или "нет" на вопрос о том, является ли оно тождественно-истинной формулой ("законом") Л. к. Или нет. Уточнение формы элементарного высказывания в Л. к. может производиться по-равному. В соответствии с задачами Л. к. оно должно содержать, однако, формы выражения сложных классов, построенных из к.-л. классов, принятых за элементарные. Это значит, что определению "формулы Л. к." должно предшествовать определение "терма Л. к.". Чтобы терм действительно мог служить выражением способа построения класса из элементарных классов, определению терма, в свою очередь, должно предшествовать еще рассмотрение операций с классами. Это рассмотрение выполняется содержательно – с использованием отношения элемента класса к самому классу (соответственно, предмета к его свойству), к-рое в Л. к. еще не выразимо. (В Л. к. вообще нет никаких предметов, отличных от "классов". Но свойства операций с классами в ней уже выразимы). Осн. операциями обычно считаются: (1) п е р е с е ч е н и е к л а с с о в ? и ?, т.е. класс (? ? ?), состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся в обоих классах ? и ?; (2) о б ъ е д и н е н и е классов ? и ?, т.е. класс (? ? ?), состоящий из всех тех и только тех элементов, к-рые содержатся хотя бы в одном из классов ? или ?; (3) дополнени е класса ?, т.е. класс ?´, состоящий из всех тех и только тех элементов универс. класса, к-рые не содержатся в классе ?. Чтобы определить терм, остается еще расширить алфавит логики высказываний, добавив, напр., к нему: (1) к.-л. буквы а, b, с,... (или те же буквы с индексами), к-рых нет в алфавите логики высказываний, – переменные для классов, или "кл.-переменные", значениями к-рых могут быть классы (иногда добавляют еще и.знаки для постоянных: 0 – для пустого класса и 1 – для универс. класса); (2) знаки: ?, U, ´. Определение терма может быть теперь таким: 1) кл.-переменная есть терм (если в алфавите есть 0 и 1, то они, по определению, также считаются термами), 2) если u и ? термы, то (u ? ?), (u U ?) – также термы; если u – терм, то u´ также терм. Чтобы определить форму элементарного высказывания Л. к., нужно еще иметь в алфавите знаки для нек-рых постоянных отношений, напр., "?" – для отношения включения одного класса в другой и "=" – для равенства классов. [Оба эти отношения, каждое из к-рых может быть выражено через другое, содержательно определяются обычно тоже через отношение элемента к классу: "класс ? включается в класс ?" (" ???"), если и только если каждый элемент класса ? есть элемент и класса ?; "класс ? равняется классу ?" ("?=?"), если и только если всякий элемент одного из этих классов есть также и элемент другого. Элементарную формулу Л. к. теперь можно определить так: если u и v – термы, то (u?v) и (u=v) – элементарные формулы. В остальном определение формулы Л. к. в точности повторяет определение формулы логики высказываний. Четыре аристотелевы формы элементарных высказываний (А, I, Е, О) на этом "языке" Л. к. могут быть выражены так: "Все и суть v" как (u ? v); "Нек-рые и суть v" как (u ? v´) (т.е. "неверно, что все и суть не-""); "Никакое u не есть v" как (u – v´) (т.е. "всякое и есть не-v"); "Нек-рые u не суть ?" как (u ? v) (т.е. "неверно, что все u суть v"). В соответствии с содержат. истолкованием ("семантикой") Л. к. элементарные формулы Л. к. могут быть тождественно-истинными, и притом "тождественно-истинными" (или "общезна-чимыми") в нек-ром расширенном смысле. Так, напр., формула ((a ? b) c ? a), в нашем истолковании гласящая, что "Всякий элемент, содержащийся в обоих классах ?, ?, подставляемых на место переменных а и b, содержится в классе ?, подставляемом на место а", истинна не только для любых классов ?, ? к.-н. данной области D, но и для всяких классов ?, ? л ю б о й области D. В Л. к. всякая формула, обладающая тем свойством, что она является истинной при любых значениях входящих в нее переменных, и притом в любой области D, и называется "тождественно-истинной", или "общезначимой". Если область D содержит лишь один предмет, в ней возможны лишь два класса: пустой (0) и универсальный (1). Всякая кл.-переменная может принимать поэтому в такой области лишь 2 значения: 0 и 1. Таблицы возможных значений для термов (u ? ?), (u U ?), u´, 1, 0, соответствующие их семантич. истолкованию, примут в таком случае в точности тот же вид, какой имеют соответственно таблицы для формул (u & v), (u / ?), u при истолковании u и v как формул логики высказываний, "единицы" и "нуля" как "истины" и "лжи". Аналогично таблица возможных значений элементарной формулы (u с:?) будет иметь тот же вид, что и таблица для импликации (u з v) в логике высказываний; таблица для формулы (u = ?) - тот же вид, что и таблица для эквивалентности (u =v). Поэтому если мы заменим в Ф, формуле Л. к., все элементарные формулы соответствующими им формулами логики высказываний (т.е. все знаки ?, U, ?, ´,= на &, /, ?, , ? соответственно), то получим формулу Ф* логики высказываний, равнозначную (в смысле истинности или ложности) формуле Ф, когда последняя рассматривается в одноэлементной области. При этом оказывается (см. D. Hubert und W. Ackermann, Grundz?ge der theoretischen Logik, 1959, S. 51-56), что если (?) ? - элементарная формула Л. к., то вопрос о ее тождественно-истинности в Л. к. сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы Ф*. [Так, вопрос о тождественно-истинности в Л.к. формулы ((a ? b) ? a) сводится к вопросу о тождественно-истинности в логике высказываний формулы ((a&b) ? а). Аналогично обстоит дело для формул (в к-рых, согласно обычным соглашениям, скобки можно опустить) видов: (II)U и вообще (III) (1 / U2 / ... / Un), (IV) ( U / B)и, более общо, (V) ( U1 / ... / Un / B), где U1,U2,...., Un, B – элементарные формулы. И только в случае формулы вида (VI) ( B1 / ... / Bm / U1 U2 / .... / Un), (n ? 2, m ? 0), где все U1,..., Un, B1,..., Bm – элементарные формулы, вопрос о ее общезначимости в Л. к. не сводится к вопросу об общезначимости в логике высказываний соответствующей формулы Ф*, а решается путем сведения к вопросу об общезначимости хотя бы одной из ? формул: ( B1 / ... / Bm / Un) т.е. к случаю (V). Поскольку всякую формулу Л. к. можно привести (относительно ее элементарных формул) к конъюнктивной нормальной форме,члены к-рой всегда имеют один из видов (I)–(VI), то вопрос об общезначимости формулы Л. к. действительно сводится к вопросу об общезначимости нек-рых формул логики высказываний, т.е.решается алгоритмически (см. Алгоритм)). Всякому модусу силлогистики Аристотеля, если U1 и U2 – посылки, B – заключение, соответствует формула Л. к.: ((U1 & U2) ? B), к-рая для всех модусов, за исключением darapti, felapton, bamalip и fesapo, оказывается тождественно-истинной в Л. к. Последние 4 модуса неверны в Л. к. потому, что в ней допускаются пустые классы, к-рых нет у Аристотеля. Однако если ввести соответствующую оговорку, т.е. добавить к числу посылок нужное допущение непустоты нек-рого класса, то и эти модусы дают правильное заключение в Л. к. (На "языке" Л. к. можно выразить непустоту класса ?, сказав, что "Нек-рые ? суть ?", т.е. что "Неверно, что все ? суть не-?": (? ? ?´). Если бы ? был пустой класс, то было бы верно, в частности, что "Все ? суть не-?"). Исторически – в трудах Лейбница, Иоганна и Даниила Бернулли (конец 17 – нач. 18 вв.), Буля, Джевонса, Шредера, Пирса, Порецкого, Дж. Венна и др. (2-я пол. 19 в.) – Л. к. возникла и развивалась в результате попыток свести решение логич. задач силлогистики Аристотеля к решению нек-рых задач арифметики, алгебры или геометрии. Именно для целей Л. к. была построена алгебра Буля (1854), сыгравшая существ, роль в развитии совр. абстрактной алгебры. Именно в применении к Л. к. появились первые приемы наглядного геометрич. решения задач логики: "круги" Эйлера и диаграммы Венна. Проблема разрешения для логики классов была решена впервые – на основании подготовивших ее решение работ Э. Шредера (1890–95) – Левенхеймом (1915). Более сильные результаты, относящиеся к расширенной Л. к. (допускающей и классы классов) или к эквивалентным ей логич. исчислениям, были получены в дальнейшем Т. Сколемом (1919), нем. математиком Г. Беманом (1922), Жегалкиным (1928–29) и др. Очень простые и остроумные решения предложены нем. Ученым B. Аккерманом и – для формализованной силлогистики Аристотеля – Лукасевичем. В наст. время Л. к. редко излагается уже как особый раздел совр. (математической ) логики, поскольку ее задачи полностью решаются в логике предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов); силлогистика же Аристотеля находит лучшее выражение в специально посвященном ее формализации исчислении Лукасевича. Будучи таким усилением исчисления высказываний, в к-ром осн. логич. задачи остаются еще алгоритмически разрешимыми, Л. к. находит широкие применения в технике, прежде всего к синтезу машин, моделирующих нек-рые операции человеческого мышления. Лит.: Кутюра Л., Алгебра логики, пер. с франц., О., 1909; Жегалкин И. И., Арифметизация символич. логики, Матем. сб., т. 35, вып. 3–4, 1928; т. 36, вып. 3–4, 1929; Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретич. логики, пер. с нем., М., 1947; гл. 2 и значительно усовершенствованное 4 нем. изд., Берлин, 1959, гл. 2; Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; Клини C., Введение в метаматематику. М., 1957 (содержит подробную библиографию, в к-рой, в частности, имеются данные об упомянутых в тексте работах Бемана, Буля, Левенхейма, Сколема, Шредера); Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959; Беркли Э., Символическая логика и разумные машины, М., 1961; Ackermann W., Solvable cases oi the decision problem, Amst., 1954, ch. 3–4. С. Яновская. Москва. ... смотреть
раздел математической логики, соответствующий узкому исчислению одноместных предикатов, которые заменяются объемами, классами. Л. к. соответствует и с... смотреть
раздел логики, в к-ром рассматриваются классы (множества) предметов, задаваемые характеристическими свойствами этих предметов (элементов классов). В совр. логике Л. к. может пониматься как «алгебра множеств», т. е. интерпретироваться (см. Интерпретация) как совокупность закономерностей, к-рым удовлетворяют т. н. теоретико-множеств. операции: объединение (сумма), пересечение (произведение) и дополнение множеств, или же как изоморфная этой алгебре (см. Изоморфизм и гомоморфизм) логика одноместных предикатов, в свою очередь понимаемая как частный случай логики предикатов или как расширение логики высказываний. Изоморфизм упомянутых интерпретаций Л. к. обеспечивается взаимнооднозначным сопоставлением объектов, рассматриваемых в этих интерпретациях: множествам (классам) сопоставляются высказывания о принадлежности к.-л. предмета данному множеству, объединению множеств конъюнкция соответствующих высказываний, пересечению их дизъюнкция, а дополнению отрицание. Рассматривая модель (реализацию, интерпретацию) Л. к. на предметной области, состоящей из одногоединственного элемента, вопрос об истинности или ложности к.-л. формулы Л. к. можно свести к вопросу относительно соответствующей формулы логики высказываний, подобно к-рой Л. к. оказывается, т. о., разрешимой. Поэтому в совр. логике Л. к, трактуют как одноместный фрагмент логики предикатов, изоморфный логике высказываний.... смотреть
ЛОГИКА КЛАССОВ, логика объемов понятий, раздел логических теорий, в котором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы логики классов).<br><br><br>... смотреть
ЛОГИКА КЛАССОВ - логика объемов понятий, раздел логических теорий, в котором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы логики классов).<br>... смотреть
ЛОГИКА КЛАССОВ , логика объемов понятий, раздел логических теорий, в котором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы логики классов).... смотреть
ЛОГИКА КЛАССОВ, логика объемов понятий, раздел логических теорий, в котором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы логики классов).... смотреть
- логика объемов понятий, раздел логических теорий, вкотором изучаются операции над классами (множествами) и свойства этихопераций (законы логики классов).... смотреть
логика объёмов понятий, раздел логич. теорий, в к-ром изучаются операции над классами (множествами) и свойства этих операций (законы Л. к.).
логіка класів