МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
Некоторые из перечисленных равенств имеют специальные названия: 7 и 7‘ — законы идемпотентности, 9 и 9‘ — законы поглощения, 10 и 10‘ — законы де Моргана. Классическая М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в начале XX в. выявились трудности, связанные с обнаружением парадоксов — противоречий, к которым приводит применение законов формальной логики к бесконечным множествам. Дальнейшая разработка М. т. была связана с уточнением понятия множества и устранением парадоксов. Смотреть больше слов в «Словаре по логике»
Смотреть что такое МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ в других словарях:
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математиче... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие м н о-ж е с т в а, или совокупности, принадлежит к числу пр... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.— свойства множеств (совокупностей, кла... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произволь... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯПод множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в математике, например в математическом анализе, геометрии и теории вероятностей.Терминология. Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то множество B называется подмножеством множества A. Например, если множество A состоит из чисел 1, 2 и 3, то у него существует 8 подмножеств (три из них содержат по 1 элементу, три - содержат по 2 элемента, одно подмножество, по определению, есть само множество A и восьмое подмножество - это пустое множество, не содержащее ни одного элемента). Запись x ? A означает, что x - элемент множества A, а B ? A - что B является подмножеством множества A. Если универсальное множество, из которого мы берем элементы всех множеств, обозначить через I, то элементы, принадлежащие I, но не входящие в A, образуют множество, называемое дополнением множества A и обозначаемое C(A) или A?. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.Над множествами можно производить операции, напоминающие операции, производимые в арифметике над числами. Объединением AB множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B (элемент, принадлежащий множествам A и B одновременно засчитывается при включении в AB только один раз). Пересечением AB множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B. Предположим, например, что множество I состоит из всех букв русского алфавита, A - из всех согласных, а множество B - из букв, встречающихся в слове "энциклопедия". Тогда объединение AB состоит из всех букв алфавита, кроме а, ё, у, ъ, ь, ы, ю, пересечение AB - из букв д, к, л, н, п, ц, а дополнение C(A) - из всех гласных. Раздел теории множеств, который занимается исследованием операций над множествами, называется алгеброй множеств. Пустое множество играет в алгебре множеств роль нуля, и поэтому его часто обозначают символом О; например, AO = A, AO = O.Булева алгебра. Алгебра множеств является подразделом булевых алгебр, впервые возникших в трудах Дж.Буля (1815-1864). В аксиомах булевой алгебры отражена аналогия между понятиями "множества", "событие" и "высказывания". Логические высказывания можно записать с помощью множеств и проанализировать с помощью булевой алгебры.Даже не вдаваясь в детальное изучение законов булевой алгебры, мы можем получить представление о том, как она используется на примере одной из логических задач Льюиса Кэрролла. Пусть у нас имеется некоторый набор утверждений:1. Не бывает котенка, который любит рыбу и которого нельзя научить всяким забавным штукам;2. Не бывает котенка без хвоста, который будет играть с гориллой;3. Котята с усами всегда любят рыбу;4. Не бывает котенка с зелеными глазами, которого можно научить забавным штукам;5. Не бывает котят с хвостами, но без усов.Какое заключение можно вывести из этих утверждений?Рассмотрим следующие множества (универсальное множество I включает в себя всех котят): A - котята, любящие рыбу; B - котята, обучаемые забавным штукам; D - котята с хвостами; E - котята, которые будут играть с гориллой; F - котята с зелеными глазами и G - котята с усами. Первое утверждение гласит, что множество котят, которые любят рыбу, и дополнение множества котят, обучаемых забавным штукам, не имеют общих элементов. Символически это записывается как1. AC(B) = O.Аналогичным образом остальные утверждения можно записать так:2. C(D)E = O;3. G ? A;4. BF = O;5. D ? G.Принимая во внимание теоретико-множественный смысл символов (или воспользовавшись законами булевой алгебры), мы можем переписать утверждения 1, 2 и 4 в виде1. A ? B;2. E ? D;4. B ? C(F).Таким образом, мы переформулировали исходные утверждения в следующие:1. Котят, которые любят рыбу, можно обучить забавным штукам;2. У котят, которые будут играть с гориллой, есть хвосты;4. У котят, которых можно обучить забавным штукам, глаза не зеленые;Теперь можно расположить символические записи утверждений в таком порядке, чтобы последний символ предыдущего утверждения совпадал с первым символом следующего (этому условию удовлетворяет расположение утверждений в порядке 2, 5, 3, 1, 4). Возникает цепочка включений E ? D ? G ? A ? B ? C(F), из которой можно сделать вывод, что E ? C(F) или "Не бывает котенка с зелеными глазами, который будет играть с гориллой". Такое заключение едва ли очевидно, если рассматривать пять исходных утверждений в их словесной формулировке.Сравнение множеств. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие, необязательно пересчитывать элементы множеств. Например, мы знаем, что американские штаты находятся во взаимно однозначном соответствии с их столицами, хотя можем оставаться в неведении относительно общего их числа. Мы могли бы утверждать: "Столиц штатов ровно столько, сколько штатов". Между двумя конечными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В теории множеств аналогичные утверждения используются, даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность. С понятием мощности связаны, казалось бы, удивительные результаты. Например, на первый взгляд положительных целых чисел в два раза больше, чем четных положительных чисел, так как четно каждое второе число. Но, согласно теории множеств, четных положительных чисел столько же, сколько всех положительных целых чисел. Действительно, можно образовать пары чисел 2 и 1, 4 и 2, 6 и 3 и, вообще каждому четному числу 2n поставить в соответствие целое число n. Именно это обстоятельство имел в виду Б.Рассел (1872-1970), сформулировав факт, названный им парадоксом Тристрама Шенди. Герой романа Стерна сетовал на то, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, еще один год понадобился, чтобы описать второй день, и что при таком темпе он никогда не завершит свое жизнеописание. Рассел возразил, заметив, что если бы Тристрам Шенди жил вечно, то смог бы закончить свое жизнеописание, так как события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в летописи его жизни ни один день не остался бы не запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней. Эти примеры показывают, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие со своим бесконечным подмножеством. Иногда это свойство принимают за определение бесконечного.Если можно установить взаимно однозначное соответствие между некоторым множеством и множеством положительных целых чисел, то говорят, что такое множество счетно. Для обозначения количества элементов в счетном множестве часто используют символ ?0 (алеф-нуль). Так называемые "трансфинитные" числа, например ?0, могут не подчиняться обычным законам арифметики. Например, так как существует ?0 четных чисел, ?0 нечетных и ?0 целых чисел, то приходится признать, что ?0 + ?0 = ?0. Идея сравнения множеств путем установления взаимно однозначного соответствия между ними используется в различных разделах математики. Число всех действительных чисел, как показал основатель научной теории множеств Г.Кантор (1845-1918), больше, чем ?0 чисел. Следовательно, если можно показать, что множество действительных чисел, обладающих некоторым особым свойством, является всего лишь счетным множеством, то заведомо должны существовать действительные числа, этим свойством не обладающие. Например, так как множество алгебраических чисел счетно, должны существовать неалгебраические числа. Такие числа называются трансцендентными.Поразительная и далеко не очевидная теорема, высказанная в качестве гипотезы Кантором и доказанная Э.Шрёдером и Ф.Бернштейном около 1896, утверждает, что если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и подмножеством множества B, и между множеством B и подмножеством множества A, то существует взаимно однозначное соответствие между всем множеством A и всем множеством B.Парадоксы. Мы уже упоминали о том, что в теории множеств встречаются такие утверждения, как парадокс Тристрама Шенди, которые выглядят противоречащими здравому смыслу. Эти парадоксы возникают просто потому, что теория множеств, подобно многим математическим и физическим теориям, облекает свои идеи в обычные слова, вкладывая в них особый смысл. Однако существуют и парадоксы, возникающие из-за внутренних логических трудностей самой теории множеств. Обильным источником парадоксов такого типа служит широко распространенная практика задания множества путем указания некоторого свойства его элементов, например, "множество, состоящее из английских слов, содержащих менее 19 букв".Некритическое использование такого рода определений может привести к трудностям. Например, некоторые статьи в этой энциклопедии содержат ссылки на себя, другие таких ссылок не содержат. Мы могли бы включить в нашу энциклопедию дополнительную статью, состоящую только из перечня статей, не содержащих ссылок на себя. Принадлежала бы такая статья множеству статей, не содержащих ссылок на себя, или не принадлежала бы? Любой ответ противоречил бы отличительному свойству, которым по их определению наделены элементы множества. Это - одна из форм так называемого парадокса Рассела, названного в честь своего автора Бертрана Рассела. "Множество всех множеств" - еще одно понятие, также приводящее к парадоксу. Существование парадоксов показывает, с какой осторожностью следует пользоваться терминологией теории множеств. Тем не менее теория множеств настолько полезна, что большинство математиков не хотели бы отказываться от нее. Было затрачено много усилий, чтобы развить методы, позволяющие исключить возникновение парадоксов в теории множеств. В приложениях теории множеств к другим разделам математики универсальное множество I обычно само является некоторым определенным множеством и парадоксальные ситуации здесь не возникают.Аксиома выбора. Неожиданные трудности в теории множеств могут возникнуть, казалось бы, в самых простых случаях. Если, например, задано семейство непересекающихся множеств, ни одно из которых не пусто, то интуитивно кажется очевидным, что мы можем построить новое множество, содержащее ровно по одному элементу из каждого множества, входящего в это семейство. Но если наше семейство содержит бесконечно много множеств, то для построения нового множества может потребоваться бесконечное число произвольных выборов, а законность такого процесса при тщательном анализе становится отнюдь не очевидной. Аксиома выбора, утверждающая, что такое множество существует, была впервые сформулирована в 1904 Э.Цермело (1871-1953). До сих пор не удалось показать, что аксиома выбора следует из остальных аксиом теории множеств. Но около 1938 К.Гёдель (1906-1978) показал, что если теория множеств непротиворечива (т.е. не содержит внутренних противоречий) без аксиомы выбора, то она остается непротиворечивой и после присоединения к ней аксиомы выбора. См. также АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА; ФУНКЦИЯ.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — учение о множествах, зародившееся в середине 19 в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было по... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
наивная - учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множес... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
математическая теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. л. - свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
математик, теория, изучающая точными средствами проблему бесконечности. Предмет М. т.свойства множеств (совокупностей, классов, ансамблей), гл. обр. бесконечных. Осн. содержание классич. М. т. было разработано нем. математиком Г. Кантором (в поcл. трети 19 в.). Классич. М. т. исходит из признания применимости к бесконечным множествам принципов логики. В развитии М. т. в нач. 20 в. выявились трудности (в т. ч. парадоксы), связанные с применением законов формальной логики (в частности, исключённого третьего принципа) к бесконечным множествам. В ходе полемики о природе математич. понятий сложились такие направления в основаниях математики, как формализм, интуиционизм, логицизм, конструктивное направление.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
математич. теория, предметом изучения к-рой являются множества. М. т. сыграла выдающуюся роль в изучении идеи бесконечности, весьма важной для математики, логики и гносеологии. Осн. содержание т.н. классич. М. т. было разработано в последней трети 19 в. Кантором. В терминах М. т. удалось построить почти всю совр. математику. С 1900-х гг., в связи с открытием парадоксов в М. т. и логике, начался продолжающийся до сих пор этап усиленного логич. анализа осн. понятий М. т. Эти исследования (см. Метод аксиоматический, Типов теория, Интуиционизм, Математическая бесконечность) оказывают значит. влияние на разработку логич. оснований математики и на развитие совр. формальной (математической) логики. ... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.<br><br><br>... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ - раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.<br>... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ , раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшее математическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощи примеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечное множество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежит множеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединение множеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество, Континуум.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
раздел математики, в к-ром изучаются общие свойства множеств, преим. бесконечных. Понятие множества - простейшее матем. понятие, оно не определяется, а... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
- раздел математики, в котором изучаются общие свойствамножеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества - простейшеематематическое понятие, оно не определяется, а лишь поясняется при помощипримеров: множество книг на полке, множество точек на прямой (точечноемножество) и т. д. То, что данный предмет (элемент, точка) х принадлежитмножеству М, записывают х О М. М. т. лежит в основе многих математическихдисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самойматематики. Об относящихся сюда понятиях см. Подмножество, Объединениемножеств, Пересечение множеств, Пустое множество, Счетное множество,Континуум.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
раздел математики, изучающий множества, отвлекаясь от конкретной природы элементов множества. Само понятие множества вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия. Описательное объяснение термина «множество»: совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы — элементов множества. Таковыми могут быть: множество целых чисел, множество звезд во Вселенной, множество точек на плоскости, множество, элементами которого являются все конечные множества и т. д. Начала современного естествознания. Тезаурус. — Ростов-на-Дону.В.Н. Савченко, В.П. Смагин.2006.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
раздел математики, в к-ром изучаются общие св-ва множеств, преим. бесконечных. Понятие множества - простейшее матем. понятие; оно не определяется, а по... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
разработанный нем. математиком Георгом Кантором (1845-1918) аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества, лишенного внутреннего противоречия. Благодаря дальнейшейму развитию теории множеств в трудах Д. Гильберта и Г. Вейля стала возможной аксиоматизация и четкое разделение различных категорий множеств. ... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
разработанный нем. математиком Георгом Кантором (1845-1918) аналитический метод для преодоления парадоксальности бесконечных множеств и дефиниции понятия множества, лишенного внутреннего противоречия. Благодаря дальнейшейму развитию теории множеств в трудах Д. Гильберта и Г. Вейля стала возможной аксиоматизация и четкое разделение различных категорий множеств.... смотреть
МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ
мностваў тэорыя